在数学分析中，探讨函数的全微分是一个重要的课题。假设我们有一个函数 \( z \) 表达为 \( z = y \sqrt{x^2 + y^2} \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是自变量。为了求解其全微分，我们需要分别对 \( x \) 和 \( y \) 求偏导数。

首先，计算关于 \( x \) 的偏导数：

\[

\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}

\]

接着，计算关于 \( y \) 的偏导数：

\[

\frac{\partial z}{\partial y} = \sqrt{x^2 + y^2} + y \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y = \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}

\]

因此，函数 \( z \) 的全微分可以表示为：

\[

dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} dx + \left( \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) dy

\]

这种形式的表达有助于进一步分析函数的变化规律，特别是在物理学和工程学中的应用中，全微分能够提供关于系统变化的重要信息。

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