【高数公式汇总】高等数学作为理工科学生的重要基础课程，涵盖了微积分、极限、导数、积分、级数等多个核心内容。为了帮助大家更好地掌握和复习相关知识点，本文将对常见的高数公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数值趋近于 $L$ |
| 常见极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数重要极限 |
| 无穷小量比较 | 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小 | |
| 两个重要极限 | $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学中的基本常数 $e$ 的来源 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 函数在某点的瞬时变化率 |
| 基本导数 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ $(\sin x)' = \cos x$ $(\cos x)' = -\sin x$ $(e^x)' = e^x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ | 常用初等函数的导数 |
| 链式法则 | $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | 复合函数求导方法 |
| 高阶导数 | $y'' = \frac{d^2 y}{dx^2}$ | 二阶导数表示函数的变化率的变化率 |
三、积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 不定积分 | $\int f(x) dx = F(x) + C$ | 求原函数 | ||
| 基本积分公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 常用不定积分公式 |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 表示函数在区间 $[a, b]$ 上的面积 | ||
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 积分中常用技巧 | ||
| 反常积分 | $\int_a^\infty f(x) dx$ 或 $\int_{-\infty}^b f(x) dx$ | 用于计算无限区间的积分 |
四、泰勒展开与麦克劳林展开
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 泰勒展开 | $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$ | 在某点附近展开函数 |
| 麦克劳林展开 | $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$ | 在 $x=0$ 处的泰勒展开 |
| 常见展开 | $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | 常见函数的幂级数展开 |
五、级数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 等比数列求和 | $S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$（$r \neq 1$） | 有限项等比数列求和 | ||
| 无穷等比数列 | $S = \frac{a_1}{1 - r}$（$ | r | < 1$） | 无限项等比数列求和 |
| 常见级数 | $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x$ | 收敛级数与幂级数 | ||
| 判别法 | 比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right | < 1$，收敛 比较判别法：若 $a_n \leq b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛 | 级数收敛性判断方法 |
六、多元函数微积分（简要）
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对一个变量求导，其他变量视为常数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ | 多元函数的微分表达 |
| 二阶偏导 | $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ | 混合偏导数 |
| 重积分 | $\iint_D f(x,y) dA$ | 在二维区域上积分 |
| 格林公式 | $\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$ | 将曲线积分转化为面积分 |
结语
高数公式繁多，但通过系统整理和反复练习，可以有效提升解题能力和数学思维。建议结合教材、例题与习题进行深入理解，逐步建立起扎实的数学基础。希望本文能为你的学习提供一定的参考与帮助。
