【泊松分布计算】泊松分布是一种常用的概率分布模型，适用于描述在固定时间或空间内，某事件发生的次数。它常用于统计学、物理学、工程学等领域，例如：电话呼叫中心的每小时来电数、医院急诊科的患者到达数、放射性物质的衰变次数等。
泊松分布的核心公式为：
$$
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$
其中：
- $ P(X = k) $ 是事件发生 $ k $ 次的概率；
- $ \lambda $ 是单位时间内事件发生的平均次数（期望值）；
- $ e $ 是自然对数的底（约等于 2.71828）；
- $ k! $ 表示 $ k $ 的阶乘。
泊松分布计算示例
假设某快递网点平均每小时收到 3 个包裹，那么我们可以用泊松分布来计算不同时间段内收到包裹数量的概率。
| 发生次数 $ k $ | 公式计算 | 概率值 $ P(X = k) $ |
| 0 | $ \frac{3^0 e^{-3}}{0!} $ | 0.0498 |
| 1 | $ \frac{3^1 e^{-3}}{1!} $ | 0.1494 |
| 2 | $ \frac{3^2 e^{-3}}{2!} $ | 0.2240 |
| 3 | $ \frac{3^3 e^{-3}}{3!} $ | 0.2240 |
| 4 | $ \frac{3^4 e^{-3}}{4!} $ | 0.1680 |
| 5 | $ \frac{3^5 e^{-3}}{5!} $ | 0.1008 |
总结
泊松分布在实际应用中非常广泛，尤其适合描述稀有事件的发生频率。通过设定合理的 $ \lambda $ 值，可以计算出不同事件次数的概率，从而帮助进行预测和决策分析。
在使用时需要注意以下几点：
- $ \lambda $ 应为正实数；
- 事件的发生应是独立的；
- 单位时间或空间内的平均发生率稳定。
通过表格形式展示泊松分布的计算结果，有助于直观理解不同情况下的概率分布特征。
