【常用定积分公式】在数学分析中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握一些常用的定积分公式，有助于快速解决实际问题。以下是一些常见的定积分公式及其应用范围的总结。
一、基本定积分公式
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（区间为 [a, b]） |
| $ \int_a^b dx $ | $ \int_a^b 1\,dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x^n dx $ | $ n \neq -1 $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ |
| $ \int_a^b e^x dx $ | — | $ e^b - e^a $ |
| $ \int_a^b \sin x dx $ | — | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x dx $ | — | $ \sin b - \sin a $ |
| $ \int_a^b \frac{1}{x} dx $ | $ x > 0 $ | $ \ln b - \ln a $ |
二、三角函数相关积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（区间为 [a, b]） | ||||
| $ \int_a^b \sin(kx) dx $ | $ k \neq 0 $ | $ \frac{-\cos(kb) + \cos(ka)}{k} $ | ||||
| $ \int_a^b \cos(kx) dx $ | $ k \neq 0 $ | $ \frac{\sin(kb) - \sin(ka)}{k} $ | ||||
| $ \int_a^b \tan x dx $ | $ -\frac{\pi}{2} < a < b < \frac{\pi}{2} $ | $ -\ln | \cos b | + \ln | \cos a | $ |
| $ \int_a^b \sec^2 x dx $ | — | $ \tan b - \tan a $ |
三、指数与对数函数积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果（区间为 [a, b]） |
| $ \int_a^b a^x dx $ | $ a > 0, a \neq 1 $ | $ \frac{a^b - a^a}{\ln a} $ |
| $ \int_a^b \ln x dx $ | $ x > 0 $ | $ b\ln b - b - (a\ln a - a) $ |
| $ \int_a^b \log_a x dx $ | $ a > 0, a \neq 1 $ | $ \frac{b\ln b - b - (a\ln a - a)}{\ln a} $ |
四、有理函数积分（部分分式）
对于某些有理函数，如：
- $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $
- $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln\left
这些公式在计算复杂函数时非常有用。
五、特殊函数积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ \int_0^\infty e^{-x} dx $ | — | $ 1 $ |
| $ \int_0^\infty x^n e^{-x} dx $ | $ n \in \mathbb{N} $ | $ n! $ |
| $ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx $ | — | $ \sqrt{\pi} $ |
六、对称性积分（奇偶函数）
- 若 $ f(x) $ 是偶函数，则 $ \int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx $
- 若 $ f(x) $ 是奇函数，则 $ \int_{-a}^a f(x) dx = 0 $
总结
定积分是数学分析中的基础工具，熟练掌握常见函数的积分公式，可以提高解题效率和准确性。以上表格列举了多种常见函数的积分形式，适用于不同场景下的计算需求。在实际应用中，还需结合具体函数形式进行适当变形或使用换元法、分部积分等技巧来求解复杂积分。
建议在学习过程中多做练习，加深对定积分的理解与应用能力。
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