【概率论与数理统计公式】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握核心公式是理解理论、解决实际问题的关键。本文将对概率论与数理统计中的主要公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、概率论基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率定义 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | A 是事件，S 是样本空间，n 表示出现次数 | |||
| 加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少发生一个的概率 | |||
| 乘法公式 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 用于计算两个事件同时发生的概率 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 在 A 发生的前提下，B 发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B | A_i) $ | 当事件 B 可以由多个互斥事件 A_i 引起时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B | A_j)} $ | 用于在已知结果 B 的情况下，求某个原因 A_i 的概率 |
二、随机变量及其分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 期望（数学期望） | $ E(X) = \sum_{x} xP(X=x) $ 或 $ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx $ | 随机变量的平均值或长期平均结果 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量偏离其均值的程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ | 取值范围 [-1, 1]，表示相关性强弱 |
| 离散型分布（如二项分布） | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | 用于描述 n 次独立重复试验中成功 k 次的概率 |
| 连续型分布（如正态分布） | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述连续随机变量的概率密度函数 |
三、统计推断常用公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $ | 描述数据集的中心趋势 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 $ | 描述数据的离散程度 |
| 置信区间（均值） | $ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验（Z 检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 用于判断样本均值是否显著不同于假设均值 |
| 卡方检验统计量 | $ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $ | 用于检验分类变量的独立性或拟合优度 |
四、常见分布参数表
| 分布类型 | 参数 | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 | n, p | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | λ | λ | λ |
| 正态分布 | μ, σ² | μ | σ² |
| 指数分布 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 均匀分布 | a, b | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
通过以上公式的整理与归纳，可以帮助学生更系统地理解和应用概率论与数理统计的知识。建议结合实例练习，加深对公式的理解与运用能力。
