【等比数列的性质公式】等比数列是数学中常见的数列类型之一，具有特定的规律性和稳定性。了解其性质和相关公式，有助于我们在实际问题中快速识别和应用等比数列的特性。以下是对等比数列主要性质及公式的总结。
一、基本概念
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比（用字母 $ q $ 表示）。
例如：
1, 2, 4, 8, 16, … 是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的性质与公式总结
| 序号 | 性质/公式 | 内容说明 | ||
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ 其中 $ a_1 $ 为第一项，$ q $ 为公比，$ n $ 为项数 | ||
| 2 | 求和公式（有限项） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $（当 $ q \neq 1 $） $ S_n = a_1 \cdot n $（当 $ q = 1 $） | ||
| 3 | 等比中项 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $ 即 $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | ||
| 4 | 连续项关系 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ | ||
| 5 | 递推关系 | $ a_{n+1} = a_n \cdot q $ | ||
| 6 | 前 $ n $ 项积 | $ P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2} $ 适用于正项等比数列 | ||
| 7 | 公比的符号 | 当 $ q > 1 $ 时，数列递增；当 $ 0 < q < 1 $ 时，数列递减；当 $ q < 0 $ 时，数列交替变化 | ||
| 8 | 极限情况 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
三、应用举例
1. 已知首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求第 5 项：
$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $
2. 计算前 4 项和：
$ S_4 = 3 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 15 = 45 $
3. 若 $ a_2 = 6 $，$ a_4 = 24 $，求公比 $ q $：
由 $ a_4 = a_2 \cdot q^2 $ 得 $ 24 = 6 \cdot q^2 $，解得 $ q = 2 $
四、小结
等比数列的性质和公式在数列分析、数学建模以及实际问题中有着广泛的应用。掌握这些基本公式和性质，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。通过理解其内在规律，我们能够更灵活地应对各种与等比数列相关的题目。
