【已知正实数,满足,则的最大值为( )A、B、C、D、】在数学问题中，常常会遇到需要求某些表达式的最大值或最小值的情况。这类题目通常涉及不等式、函数极值、对称性等知识点。以下是对一道典型题目的分析与解答。
题目回顾
题目原文如下：
> 已知正实数 $ a, b $ 满足 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 $，则 $ ab $ 的最大值为（ ）
选项未给出，但我们可以根据条件进行推导，并总结出答案。
解题思路
我们已知：
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \quad (a > 0, b > 0)
$$
目标是求 $ ab $ 的最大值。
步骤一：利用代数变换
由已知条件可得：
$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow \frac{a + b}{ab} = 1 \Rightarrow a + b = ab
$$
即：
$$
ab = a + b
$$
步骤二：引入变量替换
设 $ x = a $，$ y = b $，则有：
$$
xy = x + y
$$
整理得：
$$
xy - x - y = 0 \Rightarrow (x - 1)(y - 1) = 1
$$
这是一个双曲线方程，表示 $ x > 1 $，$ y > 1 $。
步骤三：寻找最大值
我们希望最大化 $ xy $，即：
$$
xy = x + y
$$
令 $ x = t + 1 $，$ y = \frac{1}{t} + 1 $，其中 $ t > 0 $
则：
$$
xy = (t + 1)\left(\frac{1}{t} + 1\right) = t + 1 + \frac{1}{t} + 1 = t + \frac{1}{t} + 2
$$
当 $ t = 1 $ 时，$ t + \frac{1}{t} $ 取得最小值 2，因此：
$$
xy = 2 + 2 = 4
$$
所以，$ ab $ 的最大值为 4。
结论总结
| 项目 | 内容 |
| 题目 | 已知正实数 $ a, b $ 满足 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 $，求 $ ab $ 的最大值 |
| 解题方法 | 利用代数变形和变量替换，结合不等式性质 |
| 最大值 | $ ab = 4 $ |
| 条件限制 | $ a > 0 $, $ b > 0 $ |
拓展思考
此题虽然简单，但体现了数学中“转化思想”与“极值思想”的重要性。通过将原条件转化为更易处理的形式，可以快速找到解题路径。此外，也可以尝试使用拉格朗日乘数法、柯西不等式等工具来验证结果。
最终答案：
最大值为 $ \boxed{4} $
