【谁的导函数是xlnx】在微积分的学习中，求一个函数的导数是一个基本且重要的技能。然而，有时我们也会遇到反向的问题：已知一个函数的导数是 $ x \ln x $，那么原函数是什么？ 这个问题看似简单，但需要一定的技巧和对积分规则的熟悉。
本文将围绕这个问题进行总结，并通过表格形式清晰展示关键信息，帮助读者理解“谁的导函数是 $ x \ln x $”。
一、问题解析
我们要找的是一个函数 $ f(x) $，使得它的导数为：
$$
f'(x) = x \ln x
$$
换句话说，我们需要计算不定积分：
$$
\int x \ln x \, dx
$$
这是一个典型的分部积分法（Integration by Parts）应用场景。
二、解题过程
使用分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
设：
- $ u = \ln x $ ⇒ $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = x \, dx $ ⇒ $ v = \frac{x^2}{2} $
代入公式：
$$
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx
$$
化简第二项：
$$
= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C
$$
最终结果为：
$$
\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C
$$
三、结论总结
| 原函数 | 导函数 |
| $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ | $ x \ln x $ |
因此，导函数为 $ x \ln x $ 的原函数是 $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $，其中 $ C $ 是积分常数。
四、注意事项
1. 分部积分法是处理类似 $ x \ln x $ 这类乘积函数的重要工具。
2. 在实际应用中，积分常数 $ C $ 可根据初始条件确定。
3. 若题目要求具体函数而非通解，可结合边界条件进一步求解。
五、小结
通过本篇文章，我们了解了如何从已知导数 $ x \ln x $ 推导出原函数。这不仅有助于加深对积分方法的理解，也展示了数学中“逆向思维”的重要性。掌握这类问题的解决方法，对后续学习微积分中的复杂函数处理有极大帮助。
