【向量计算公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，它不仅表示大小，还包含方向。向量的运算广泛应用于力学、工程、计算机图形学等领域。以下是对常见向量计算公式的总结，便于快速查阅与理解。
一、向量的基本概念
| 名称 | 定义 | ||||||
| 向量 | 有大小和方向的量，通常用箭头表示，如 $\vec{a}$ 或 $\mathbf{a}$ | ||||||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ 或 $ | \vec{a} | $ | ||
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hat{a}$，即 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ |
二、向量的加减法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ | 将对应分量相加 |
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ | 将对应分量相减 |
几何意义：
向量加法遵循“首尾相接”法则；减法则可以看作加上相反向量。
三、向量的数乘（标量乘法）
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$ | 标量 $k$ 与向量相乘，改变方向或大小 |
性质：
- 若 $k > 0$，方向不变；若 $k < 0$，方向相反。
- $
四、向量的点积（内积）
| 运算 | 公式 | 说明 | ||||
| 点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | 向量的对应分量相乘后求和 | ||||
| 几何形式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$ 是两向量夹角 |
性质：
- 若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则两向量垂直。
- 点积结果是一个标量。
五、向量的叉积（外积）
| 运算 | 公式 | 说明 | ||||||
| 叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | 仅适用于三维空间，结果为一个向量 | ||||||
| 几何意义 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | 模长等于两向量构成的平行四边形面积 |
性质：
- 叉积结果的方向由右手定则确定。
- 若 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$，则两向量共线。
六、向量的投影
| 运算 | 公式 | 说明 | ||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影 |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ | 得到的是一个向量，方向与 $\vec{b}$ 相同 |
七、常用向量公式汇总表
| 类型 | 公式 | ||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$ | ||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$ | ||
| 数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$ | ||
| 点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ | ||
| 叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$ | ||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ |
通过掌握这些基本的向量计算公式，可以更高效地解决涉及方向和大小的问题。在实际应用中，合理运用这些公式有助于简化复杂问题，提高计算效率。
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